Svoje prve resne košarkarske korake je Aleksander Šaškov napravil pri domžalskih Helios Suns v sezoni 2017/18. Pot ga je nato vodila v Pesaro, moskovski CSKA, Nižni Novgorod, nazadnje pa v ljubljansko Ilirijo. Ljubitelji košarke se lahko spomnite, da je dres takratne Union Olimpije v sezoni 2016/17 nosil že njegov starejši brat, Semjon Šaškov.

V sezoni 2022/23 je bil Šaškov najboljši strelec in skakalec Ilirije v slovenskem državnem prvenstvu. V povprečju je beležil 14,1 točko ter 7,2 skoka, svojo najboljšo predstavo sezone pa je prikazal na obračunu s Helios Suns 5. maja, ko je 32 točkam dodal kar 16 skokov. V Fibinih tekmovanjih se je Šaškov predstavil v košarkarski Ligi prvakov, v dresu Nižnega Novgoroda je zaigral na eni tekmi. V dresu ruske reprezentance se je predstavil v kategorijah do 16. in 18. leta. Leta 2016 je na evropskem prvenstvu divizije B do 16. leta v povprečju dosegal 15,1 točko ter 10,0 skokov, naslednje leto pa v diviziji A kategorije do 18. leta 8,3 točke in 7,1 skok na tekmo. Leta 2018 je znova zaigral na evropskem prvenstvu za reprezentance do 18 let in na sedmih tekmah dosegal 7,7 točke ter 5,0 skokov na tekmo.